Меня приняли на работу в одну организацию, забрали трудовую книжку, но трудовой договор со мной не заключили. - ОБЯЗАНЫ БЫЛИ ЗАКЛЮЧИТЬ, настаивайте на этом!!!
2) Если я буду увольняться, могут ли мне не написать в трудовой книжке, что я работала в этой организации? - не имеют право НЕ НАПИСАТЬ!!! Вы должны быть письменно уведомлены обо всех записях вашей ТР кн, т.е. под записью об увольнении должна быть ваша личная запись "С записью ознакомлен, подпись)"
3) Как в этом случае доказать, что я там работала? - на основании статей ТК РФ вы имеете право (в любой момент) письменно запросить у работодателя безвозмездно копии всех документов связанных с вашей трудовой деятельностью: копии приказов о приеме, увольнении, переводах и т.д.
4)  И имеет ли работодатель право требовать, чтобы я отработала две недели, после того, как заявлю об увольнении? - Вы ДОЛЖНЫ письменно предупредить работодателя о предполагаемом увольнении за 2 недели!!! (Если ваше уволь не связано с такими ситуац как армия, пенсия, переезд и т.д., читайте внимательно Трудовой кодекс!)